Matrice definita positiva

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una matrice definita positiva è una matrice simmetrica (nel caso reale) o hermitiana (nel caso complesso) che ha proprietà analoghe ai numeri reali positivi.

Definizione

Poiché una matrice simmetrica reale è anche hermitiana, diamo la definizione nel contesto più ampio delle matrici hermitiane.

Una matrice hermitiana M n × n è una matrice definita positiva se ha una delle seguenti proprietà equivalenti (e quindi le possiede tutte):

1. Per tutti i vettori non nulli z in Cⁿ abbiamo

   z^* M z > 0.

   Qui vediamo z come un vettore colonna con n componenti complesse e z^* come la complessa coniugata della sua trasposta: se M è hermitiana, z^* M z è sempre reale, ed ha quindi senso chiedere che sia positivo.
2. Per tutti i vettori non nulli x in Rⁿ abbiamo

   x^T M x > 0

   (dove x^T denota la trasposta del vettore colonna x).
3. Per tutti i vettori non nulli u in Zⁿ (tutte le componenti sono intere), abbiamo

   u^T M u > 0.

4. Tutti gli autovalori di M sono positivi.
5. La forma hermitiana

   <x, y> = x^* M y

   definisce un prodotto hermitiano definito positivo su Cⁿ.
6. criterio di Jacobi: tutte le seguenti matrici hanno determinante positivo: la sottomatrice superiore sinistra 1 × 1 di M, la sottomatrice superiore sinistra 2 × 2 di M, la sottomatrice superiore sinistra 3 × 3 di M, ..., e M stessa (tutti i minori principali partendo dall'ordine 1 a n).

Proprietà

Le matrici definite positive hanno un comportamento simile ai numeri reali positivi.

• Ogni matrice definita positiva è invertibile e la sua inversa è anch'essa definita positiva.

• Se M è definita positiva e r > 0 è un numero reale, allora rM è definita positiva.

• Se M e N sono definite positive, allora M + N è anch'essa definita positiva; se inoltre MN = NM, cioè le matrici commutano, allora MN è anch'essa definita positiva.

• Ogni matrice definita positiva M ha una radice quadrata, cioè una matrice N tale che N^TN = M. Una matrice definita positiva può avere un gran numero di radici quadrate, ma una e una sola radice quadrata definita positiva.

Matrici definite negative, semidefinite e indefinite

La matrice hermitiana M si dice definita negativa se

x^* M x < 0

per tutti gli elementi non nulli x in Rⁿ (o, equivalentemente, tutti elementi non nulli x in Cⁿ).

La matrice M è chiamata semidefinita positiva se

x^* M x ≥ 0

Per tutti gli x in Rⁿ (o Cⁿ); si dice invece semidefinita negativa se

x^* M x ≤ 0

per tutti gli x in Rⁿ (o Cⁿ).

Come sopra, x^* indica la complessa coniugata della sua trasposta. Nel caso in cui x sia un vettore in Rⁿ, questa operazione coincide con la trasposizione e si può scrivere x^T al posto di x^*.

Una matrice hermitiana che non è né positiva né semidefinita negativa è chiamata indefinita.

Prodotti scalari e forme hermitiane

Per approfondire, vedi le voci prodotto scalare e forma hermitiana.

Le matrici definite positive sono utili per definire una geometria su uno spazio vettoriale, che possa usare i concetti di angolo e lunghezza.

Sia K un campo R o C, V uno spazio vettoriale su K, e

B : V × V → K

una forma hermitiana se K = C o un prodotto scalare se K = R. La forma B è chiamata definita positiva se B(x,x) > 0 per ogni x in V diverso dal vettore zero: questa proprietà garantisce che i vettori hanno "lunghezza positiva" e danno a V una struttura simile a quella dello spazio euclideo.

Voci correlate

• Glossario sulle matrici
• Prodotto scalare
• Funzione definita positiva